Track / Stage 4 / 33 of 340 #293 of 2000

Problem 293

AMC 12 late, AIME early

Geometry Difficulty 4.5 Prove it ENVOI 1 : GÉOMÉTRIE Corrigé · France

Problem:

Soit $ABCD$ un quadrilatère et $M, N, P, Q$ les milieux respectifs de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ .
Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Puisque les points $M$ et $N$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $[BC]$ , les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.

Puisque les points $P$ et $Q$ sont les milieux respectifs des côtés $[CD]$ et $[DA]$ , les droites $(PQ)$ et $(AC)$ sont parallèles.

Donc les droites $(PQ)$ et $(MN)$ sont parallèles.

On obtient de la même façon que les droites $(NP)$ et $(MQ)$ sont parallèles.

Donc les côtés opposés deux à deux du quadrilatère $MNPQ$ sont parallèles, ce qui en fait un parallélogramme.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.