Track / Stage 4 / 23 of 340 #283 of 2000

Problem 283

AMC 12 late, AIME early

Number theory Difficulty 4.5 Prove it SMO - Vorrunde · Switzerland

Problem:

Sei $n \geq 2$ eine natürliche Zahl. Seien $d_{1}, \ldots, d_{r}$ alle verschiedenen positiven Teiler von $n$ , die kleiner sind als $n$ selbst. Bestimme alle $n$ , für die gilt:
$\operatorname{kgV}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}\right) \neq n$

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Falls $n$ eine Primpotenz ist, gilt $n=p^{\alpha}$ für eine Primzahl $p$ . Die Teiler von $n$ kleiner als $n$ sind dann $d_{1}=1, d_{2}=p, \ldots, d_{r}=p^{\alpha-1}$ . Somit gilt $\operatorname{kgV}\left(1, p, \ldots, p^{\alpha-1}\right)=p^{\alpha-1} \neq n$ .

Falls $n$ keine Primpotenz ist, gilt $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}$ für ein $k \geq 2$ . Dann besitzt $n$ die beiden echten Teiler $p_{1}^{\alpha_{1}}$ und $p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}$ . Weiter gilt $\operatorname{kgV}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}\right) \geq \operatorname{kgV}\left(p_{1}^{\alpha_{1}}, p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}\right)=n$ . Da alle $d_{i}$ Teiler von $n$ sind, gilt ebenfalls $\operatorname{kgV}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}\right) \mid n$ und somit muss gelten $\operatorname{kgV}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}\right)=n$ .

Somit sind die gesuchten $n$ genau die Primpotenzen.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.