Problem 525

Solution:

Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base coincide com a mediana. Traçando esta altura, obtemos dois triângulos retângulos com catetos medindo $h$ e $5$, e hipotenusa $13$. Pelo Teorema de Pitágoras temos:
$$h^{2} + 5^{2} = 13^{2} \Rightarrow h^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 144 \Rightarrow h = \sqrt{144} = 12$$
Logo a área do triângulo é $A = \frac{b \times h}{2} = \frac{10 \times 12}{2} = 60~\mathrm{cm}^{2}$.

Vamos agora "colar" os 2 triângulos retângulos ao longo do lado medindo $5$, obtendo um triângulo isósceles com base $12 + 12 = 24~\mathrm{cm}$, os lados com $13~\mathrm{cm}$ e a altura relativa à base igual a $5~\mathrm{cm}$. Logo, este novo triângulo isósceles tem também área igual a $\frac{24 \times 5}{2} = 60~\mathrm{cm}^{2}$.