Track / Stage 5 / 377 of 400 #977 of 2000

Problem 977

AIME late

Algebra Difficulty 5.9 Prove it Brazil

Problem:

Uma linha de trem está dividida em 10 trechos pelas estações $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ e $K$ . A distância de $A$ até $K$ é igual a $56~\mathrm{km}$ . O trajeto de dois trechos consecutivos é sempre menor ou igual a $12~\mathrm{km}$ e o trajeto de três trechos consecutivos sempre é maior ou igual a $17~\mathrm{km}$ . Determine as distâncias:

a) de $J$ até $K$ ;
b) de $D$ até $H$ ;
c) de $B$ a $G$ .

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

a) Podemos escrever $AK = 56$ e $AK = AD + DG + GJ + JK$ . Como $AD, DG$ e $GJ \geq 17$ , então $JK \leq 5$ . Daí, para $HK \geq 17$ , devemos ter $HJ \geq 12$ . Mas, sabemos que $HJ \leq 12$ , assim $HJ = 12$ . A partir de $HK \geq 17$ e $HJ = 12$ , concluímos $JK \geq 5$ e a única possibilidade é $JK = 5$ .

b) Por simetria, teremos $AB = 5$ e $BD = 12$ . Agora, seguimos com
$\begin{aligned} DH & = AK - AB - BD - HJ - JK \\ & = 56 - 5 - 12 - 5 - 12 = 22 \end{aligned}$

c) Por fim, $GJ \geq 17$ , mas $HJ = 12$ . Assim $GH \geq 5$ . A partir de $DG \geq 17$ e $DH = DG + GH = 22$ , obtemos $DG = 17$ e $GH = 5$ . Portanto
$\begin{aligned} BG & = BD + DG \\ & = 12 + 17 \\ & = 29 \end{aligned}$

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.