Track / Stage 4 / 308 of 340 #568 of 2000

Problem 568

AMC 12 late, AIME early

Combinatorics Difficulty 5.0 Prove it Републички натпревар по математика за основно образование · North Macedonia

Даден е квадрат со страна $49$ cm. Раздели го дадениот квадрат на $2009$ помали квадрати од два типа коишто имаат целобројни страни (должините на страните на делбените квадратите можат да имаат една од две различни целобројни вредности).

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Ке разгледуваме квадрати со страни $1$ cm и $3$ cm. Бројот на квадратите со страна $3$ cm нека е $x$ . Тогаш бројот на квадратите со страна $1$ cm ќе биде $2009-x$ . Збирот на плоштините на помалите квадратчиња ќе биде иста со збирот на плоштините на големиот квадрат, т.е.
$\begin{array}{l} (2009-x) \cdot 1 + x \cdot 9 = 49^2 \\ 8x=392 \\ x=49 \end{array}$
Според тоа, едно од можните решенија е: $49$ квадрати со страна $3$ cm и $1960$ квадрати со страна $1$ cm.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.