Problem 1523

Solution:

Numeramos las posiciones en la fila desde $1$ hasta $2 n+1$, de izquierda a derecha. Definimos la valoración de una cierta posición $k = 1, 2, \cdots, 2 n+1$ como el número de fichas blancas a su izquierda más el número de fichas negras a su derecha, con lo que una ficha está equilibrada si y sólo si su valoración es igual a $n$.

Supongamos que las fichas en posiciones $k$ y $k+1$ tienen distinto color. El número de fichas blancas a su izquierda en las posiciones $1,2, \cdots, k-1$ y el número de fichas negras a su derecha en las posiciones $k+2, k+3, \cdots, 2 n+1$ son los mismos para ambas. La suma de estas dos cantidades es la valoración común de ambas si la ficha en posición $k$ es negra y la ficha en posición $k+1$ es blanca; pero en caso contrario, la ficha negra en $k+1$ tiene una ficha blanca adicional a su izquierda, y la ficha blanca en posición $k$ tiene una ficha negra adicional a su derecha, con lo que la valoración de estas dos fichas es en cualquiera de los dos casos la misma.

Tenemos entonces que, sean cuales sean sus colores, si intercambiamos las fichas en posiciones $k$ y $k+1$, la paridad del número de fichas equilibradas no varía. En efecto, la valoración de las fichas en las posiciones $1,2, \cdots, k-1$ y en las posiciones $k+2, k+3, \cdots, 2 n+1$ no varían con el cambio, si las fichas en posiciones $k$ y $k+1$ tienen el mismo color simplemente intercambian sus valoraciones, y si tienen distinto color, entonces ambas tienen la misma valoración antes del cambio, y ambas tienen la misma valoración después del cambio, luego el número de fichas equilibradas permanece constante, puede aumentar en $2$, o reducirse en $2$.

Como toda permutación se puede descomponer en intercambios sucesivos de elementos contiguos, la paridad del número de fichas equilibradas no cambia cuando situamos todas las fichas negras en las primeras posiciones de la fila, y todas las blancas en las últimas posiciones de la fila.

Sea $a$ el número de fichas negras y $b$ el de fichas blancas, con la condición de que $a+b=2 n+1$. Representamos la fila de fichas blancas y negras mediante un camino en el interior de un rectángulo $a \times b$, que empieza por la esquina inferior izquierda del rectángulo. La fila se recorre de izquierda a derecha. Si la ficha es negra se marca un paso unidad hacia arriba, y si es blanca, un paso unidad hacia la derecha. Se considera el segmento $L$ que une dos lados paralelos del rectángulo, pasa por su centro $O$, y forma ángulos de $45^\circ$ con los lados del mismo. El rectángulo queda así dividido por $L$ en dos polígonos simétricos respecto del punto $O$. Y las fichas equilibradas corresponden precisamente a los pasos del camino que cruzan $L$. Si consideramos la fila con todas las fichas negras al principio de la fila a la izquierda de las fichas blancas (lo cual no altera la paridad del número de fichas equilibradas), entonces el correspondiente camino es formado por el lado vertical del rectángulo y el lado superior del mismo. Así $L$ corta una vez al camino y por tanto el número de fichas equilibradas es impar.