Track / Stage 3 / 190 of 260 #190 of 2000

Problem 190

AMC 10/12, early questions

Geometry Difficulty 3.6 Find the answer Brazil

Problem:

O perímetro de um retângulo $ABCD$ é $20~\mathrm{m}$ . O menor comprimento, em metros, que a diagonal $AC$ pode ter é:

(a) $0$
(b) $\sqrt{50}$
(c) $10$
(d) $\sqrt{200}$
(e) $20 \sqrt{5}$

Your answer

Official solution

Solution:

Denotemos por $a$ e $b$ os comprimentos dos lados do retângulo, assim $2a + 2b = 20$ , logo $a + b = 10$ . Por outro lado, o quadrado do comprimento da diagonal pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras, assim $d^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Como

$\begin{aligned} 2d^{2} &= 2a^{2} + 2b^{2} = (a^{2} + 2ab + b^{2}) + (a^{2} - 2ab + b^{2}) \\ &= (a + b)^{2} + (a - b)^{2} \\ &= 100 + (a - b)^{2} \end{aligned}$

temos que o comprimento da diagonal é mínimo quando $a = b$ , e neste caso $2d^{2} = 100$ e $d = \sqrt{50}$ . A opção correta é (b).

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.