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Problem 788

AIME late

Geometry Difficulty 5.5 Prove it Olimpiadas Matemáticas Españolas · Spain

Problem:

Un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de centro $O$ y radio igual a $4~\mathrm{cm}$ , se gira un ángulo recto en torno a $O$ . Hallar el área de la parte común al triángulo dado y al obtenido en ese giro.

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Official solution

Solution:

El área pedida es la diferencia entre el área del triángulo dado $ABC$ y los tres triángulos grises de la figura.
Tenemos
$[ABC] = 3 \frac{1}{2} 16 \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3}, \quad BC = 4 \sqrt{3}$
Para calcular el área de uno de los triángulos grises ( $BPQ$ de la figura), basta tener en cuenta que sus ángulos valen $90^\circ$ , $60^\circ$ y $30^\circ$ y si ponemos $x = BQ$ , entonces $PQ = \sqrt{3} x$ y $BP = 2x$ .
$[BPQ] = \frac{\sqrt{3}}{2} x^2$
El área pedida $S$ es:
$S = 12 \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} x^2$
Sólo nos queda calcular $x$ ; para ello basta tener en cuenta que:
$x + 2x + \sqrt{3} x = 4 \sqrt{3} \Longleftrightarrow x = 2(\sqrt{3} - 1)$
Sustituyendo en la expresión anterior y operando, resulta:
$S = 12 \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} x^2 = 12 \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} 8(2 - \sqrt{3}) = 12(3 - \sqrt{3})$

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.