Problem 1817

Solution:
Antwort: $n=2004$
Wir zeigen allgemeiner: Sind $a<b$ zwei natürliche Zahlen, dann ist $n=2b-a-1$ der grösste Wert, für den $4^{a}+4^{b}+4^{n}$ eine Quadratzahl ist.
Sei zunächst $n=2b-a-1$. Wir erhalten
$$\begin{aligned} 4^{a}+4^{b}+4^{n} & =4^{a}\left(1+4^{b-a}+4^{2(b-a)-1}\right) \\ & =\left(2^{a}\right)^{2} \cdot\left(1+2^{2(b-a)-1}\right)^{2} \end{aligned}$$
also eine Quadratzahl. Wir nehmen nun an, es gelte $n \geq 2b-a$. Wegen $4^{a}+4^{b}+4^{n}=\left(2^{a}\right)^{2} \cdot\left(1+4^{b-a}+4^{n-a}\right)$ genügt es zu zeigen, dass $A=1+4^{b-a}+4^{n-a}$ kein Quadrat ist. Einerseits gilt $A>\left(2^{n-a}\right)^{2}$, andererseits wegen $2b-2a<n-a+1$ aber auch
$$\begin{aligned} A & =1+2^{2b-2a}+\left(2^{n-a}\right)^{2} \\ & <1+2 \cdot 2^{n-a}+\left(2^{n-a}\right)^{2}=\left(2^{n-a}+1\right)^{2} \end{aligned}$$
Damit liegt $A$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen, kann also nicht selbst eine sein.

Solution 2:
Wir geben einen zweiten Beweis dafür, dass $A$ für $n \geq 2b-a$ keine Quadratzahl ist.
$A=4^{a}\left(1+4^{b-a}+4^{n-a}\right)$ ist genau dann eine Quadratzahl, wenn der zweite Faktor eine ist. Nehme also an, $1+4^{b-a}+4^{n-a}=s^{2}$, dann ist $s$ ungerade und wegen $n>b$ ist $4^{b-a}=2^{2b-2a}$ die grösste Zweierpotenz, die $s^{2}-1=(s-1)(s+1)$ teilt. Nun sind $s-1$ und $s+1$ zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen, also ist eine davon durch $2$ und die andere durch $2^{2b-2a-1}$ teilbar. Schreibe $s=2^{2b-2a-1} r \pm 1$, mit $r$ ungerade. Dann gilt
$$1+4^{b-a}+4^{n-a}=s^{2}=4^{2b-2a-1} r^{2} \pm 2^{2b-2a} r+1$$
Umformen und Faktorisieren liefert
$$( \pm r-1)=4^{b-a-1}\left(2^{n-(2b-a-1)}-r\right)\left(2^{n-(2b-a-1)}+r\right)$$
Nach Voraussetzung an $n$, und weil $r$ ungerade ist, verschwindet die rechte Seite nicht und daher gilt
$$2^{n-(2b-a-1)}+r \leq| \pm r-1|$$
Daraus folgt wiederum $2^{n-(2b-a-1)} \leq 1$, im Widerspruch zu $n \geq 2b-a$.

Solution 3:
Wir nehmen an, $4^{a}+4^{b}+4^{n}$ sei ein Quadrat. Wir machen den Ansatz
$$\left(2^{n}+2^{k} r\right)^{2}=4^{a}+4^{b}+4^{n}$$
wobei $k \geq 0$ und $r$ ungerade ist. Ausmultiplizieren ergibt
$$2^{k} r\left(2^{n+1}+2^{k} r\right)=4^{a}+4^{b}$$
Die rechte Seite ist konstant. Wenn man $r$ festhält, und $n$ grösser macht, wird $k$ kleiner und umgekehrt. Da wir den grösstmöglichen Wert von $n$ suchen, können wir annehmen, dass $n>k-1$ ist (genauer: Falls es ein $n$ mit dieser Nebenbedingung gibt, dann kann für das grösste $n$ sicher nicht $n \leq k-1$ gelten). Umformen liefert
$$4^{k} r\left(2^{n-k+1}+1\right)=4^{a}\left(4^{b-a}+1\right)$$
Nach Konstruktion sind die beiden Klammern ungerade, und daher ist $4^{k}$ die grösste Zweierpotenz, die die linke Seite teilt, und $4^{a}$ ist die grösste solche, die die rechte Seite teilt. Dies liefert $k=a$. Nun lassen wir $r$ variieren und sehen, dass $n$ grösser wird, wenn $r$ kleiner wird und umgekehrt. Das heisst, falls ein $n$ existiert mit $r=1$, dann muss es das grösste sein. Also probieren wir das aus: Mit $r=1$ und $k=a$ folgt aus obiger Gleichung
$$2^{n-a+1}+1=4^{b-a}+1$$
Also $n=2b-a-1$. Dies muss das maximale $n$ sein.