Problem 1825

Solution:

Première solution : Gardons les bons réflexes qui s'imposent avec les équations fonctionnelles. On va montrer (après avoir commencé par chercher les solutions potentielles !) que l'unique solution est l'identité. On comprend déjà que le petit Théorème de Fermat va jouer un rôle crucial.

Soit donc $x=p$ dans la condition (ii), i.e. la première substitution à laquelle on doit penser. On obtient donc
$$p \mid (2 f(p))^{f(p)}$$
et ainsi $p \mid f(p)$ pour tout premier $p \neq 2$. Et pour $p=2$ ? Posons $x=0$, et l'on obtient $p \mid (f(p)+f(0))^{f(p)}$. Donc pour $p \neq 2$, $p \mid f(0)$, car $p \mid f(p)$. Cela force $f(0)=0$. En particulier, réinjecté plus haut, on obtient que $p \mid f(p)$ pour tout $p$ cette fois.

De même avec $x=k p$ on obtient $p \mid f(k p)$ pour tout entier $k$. Autrement dit, pour un entier $n$ et $p$ premier:
$$p|n \Rightarrow p| f(n)$$
Le retour de l'implication est-il vrai ? Supposons que $p \mid f(n)$ pour un entier $n$. Comme $p \mid f(p)$, on obtient de la condition (ii) avec $x=n$ que $p \mid n$. Donc le retour est vrai également ! Finalement, on obtient pour un entier $n$ et un premier $p$ :
$$p|n \Leftrightarrow p| f(n)$$
En particulier pour $n=p$, on obtient que $f(p)$ est nécessairement une puissance de $p$. Comme $f(p)>0$, $f(p)=p^{a_{p}}$ où $a_{p} \geq 1$ est un entier qui dépend de $p$. Par le petit Théorème de Fermat, on se rappelle que $y^{p^{a}} \equiv y \pmod{p}$. Ainsi, la condition (ii) devient :
$$p \left| \left(f(x)+p^{a_{p}}\right)^{p^{a_{p}}}-x \Rightarrow p \right| f(x)-x$$
Cette dernière condition est vérifiée pour tout $p$ et pour tout entier $x$. On conclut que $f(x)=x$ pour tout $x$. Le petit Théorème de Fermat nous permet de vérifier qu'il s'agit bien d'une solution.

Deuxième solution par Bibin : Au lieu de montrer que $p \mid f(x)-x$ pour tout $x$, on montre que $p \nmid f(x+1)-f(x)$ pour tout $p$ et pour tout $x$ (on soustrait la condition (ii) pour $x$ et pour $x+1$). Ainsi $f(x+1)-f(x)= \pm 1$ et on conclut par induction (après avoir montré par exemple que $f(0)=0$).