Track / Stage 3 / 28 of 260 #28 of 2000

Problem 28

AMC 10/12, early questions

Number theory Difficulty 3.1 Prove it Brazilian Mathematical Olympiad, Nível 2 · Brazil

Problem:

(a) A soma de quatro inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta.

(b) A soma de três inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta.

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

(a) Seja $x$ o menor dos números. Então, a soma em questão é
$x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 4x + 6 = 2(x+3)$
Este número é par maior que $2$ , portanto não pode ser um número primo.

(b) Seja $y$ o menor dos números. Então, a soma em questão é
$y + (y+1) + (y+2) = 3y + 3 = 3(y+1)$
Este número é múltiplo de $3$ e maior que $3$ , logo não pode ser um número primo.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.