Problem 1696

Solution:
Die Gleichung (1) ist symmetrisch in $x$ und $y$, so dass wir zunächst $x \geq y$ annehmen können und für $x \neq y$ zu jeder Lösung $(x, y)$ auch $(y, x)$ als Lösung erhalten. Mit
$d = x - y \geq 0$ folgt $\sqrt[3]{7 d^{2} + x y} = d + 1$. Potenzieren liefert $x^{2} - d x + \left(-d^{3} + 4 d^{2} - 3 d - 1\right) = 0$ mit der Diskriminante $D = d^{2} - 4\left(-d^{3} + 4 d^{2} - 3 d - 1\right) = (d-2)^{2}(4 d + 1) \geq 0$. Es ist also $x_{1/2} = \frac{d \pm (d-2) \sqrt{4 d + 1}}{2}$. Für die Ganzzahligkeit von $x$ muss $4 d + 1$ eine Quadratzahl sein, und zwar das Quadrat einer ungeraden Zahl. Der Ansatz $4 d + 1 = (2 m + 1)^{2}$ mit $m \in \{0; 1; 2; \ldots\}$ liefert $d = m^{2} + m$, so dass sich $x_{1/2} = \frac{1}{2}\left[\left(m^{2} + m\right) \pm \left(m^{2} + m - 2\right)(2 m + 1)\right]$ ergibt. Dies führt zu $\left(x_{1}, y_{1}\right) = \left(m^{3} + 2 m^{2} - m - 1, m^{3} + m^{2} - 2 m - 1\right)$ und für $m \neq 1$ zu $\left(x_{2}, y_{2}\right) = \left(-m^{3} - m^{2} + 2 m + 1, -m^{3} - 2 m^{2} + m + 1\right)$ und den Lösungen $\left(y_{1}, x_{1}\right)$ bzw. $\left(y_{2}, x_{2}\right)$ für $m > 0$. Eine Probe bestätigt, dass diese Paare tatsächlich Lösungen sind.