Track / Stage 3 / 207 of 260 #207 of 2000

Problem 207

AMC 10/12, early questions

Algebra Difficulty 3.8 Find the answer 67. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije, Državno tekmovanje · Slovenia

Problem:

Katero je najmanjše naravno število $n$ , za katero interval $\left[\frac{n+8}{2}, \frac{2 n+14}{3}\right]$ vsebuje vsaj 4 naravna števila?

(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) Nobeno izmed naštetih.

Your answer

Official solution

Solution:

Dolžina intervala je enaka $\frac{2 n+14}{3}-\frac{n+8}{2}=\frac{(4 n+28)-(3 n+24)}{6}=\frac{n+4}{6}$ . Ker mora interval vsebovati vsaj 4 naravna števila, mora biti njegova dolžina vsaj 3 (saj sta lahko obe krajišči naravni števili). Torej mora biti $\frac{n+4}{6} \geq 3$ oziroma $n \geq 14$ . Če je $n=14$ , je interval enak [11,14] in vsebuje 4 naravna števila. Pravilen odgovor je torej (E).

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.