Problem 1176

Solution:

Debido a que el número de lados del polígono $H$ deja de resto 1 al dividirse entre seis, cada diagonal y cada lado del polígono pertenece sólo (exactamente) a tres triángulos isósceles distintos.

Denotamos por $AA$, $AR$ y $RR$ los números de segmentos que son lados y diagonales cuyos extremos respectivamente están coloreados ambos de azul, de azul y de rojo o ambos de rojo. Análogamente denotamos por $AAA$, $AAR$, $ARR$ y $RRR$ el número de triángulos isósceles cuyos vértices son los tres azules, dos azules y uno rojo, uno azul y dos rojos o los tres rojos y ninguno azul, respectivamente.

Entonces $3 \times AA = 3 \times AAA + AAR$, porque cada diagonal o lado de $H$ pertenece a tres triángulos isósceles y los triángulos isósceles con tres vértices azules tienen tres lados con sus dos extremos azules. Los triángulos isósceles con dos vértices azules tienen sólo un lado con sus extremos de color azul y los triángulos isósceles con menos de dos vértices azules no tiene ningún lado con los extremos del mismo color azul.

Análogamente establecemos $3 \times RA = 2 \times AAR + 2 \times ARR$ y $3 \times RR = ARR + 3 \times RRR$. Las tres relaciones obtenidas conducen a

$$AAA + RRR = RR + AA - \frac{1}{2} \times RA = \frac{1}{2} \times R \times (R-1) + \frac{1}{2} \times A \times (A-1) - \frac{1}{2} \times R \times A,$$

donde $A$ es el número de vértices azules, $A = 6n+1 - R$. Esto completa la prueba. Observemos que el resultado es también cierto si el polígono $H$ tiene $6n+5$ lados.