Track / Stage 3 / 43 of 260 #43 of 2000

Problem 43

AMC 10/12, early questions

Geometry Difficulty 3.2 Find the answer Nível 2 · Brazil

Problem:

Júlio faz multiplicações usando apenas os quadrados dos números. Ele tem que calcular o produto $85 \times 135$ . Para isso, ele desenha um retângulo de $85 \mathrm{~mm}$ por $135 \mathrm{~mm}$ e traça nesse retângulo o maior quadrado possível; faz o mesmo no quadrado restante e assim sucessivamente. Dessa maneira ele obtém oito quadrados. Desenhe a figura feita por Júlio e escreva $85 \times 135$ como a soma de oito quadrados: $85 \times 135=85^{2}+\ldots$

Your answer

Official solution

Solution:

O maior quadrado no retângulo de $85 \times 135$ é aquele de $85 \times 85$ . Sobra então um retângulo de $50 \times 85$ , onde o maior quadrado é de $50 \times 50$ . Continuando assim, obtemos:
$85 \times 135=85^{2}+50^{2}+35^{2}+15^{2}+15^{2}+5^{2}+5^{2}+5^{2}$

| | | | $5^{2}$ $5^{2}$ $5^{2}$ | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | $35^{2}$ | $15^{2}$ | | |
| | | | $15^{2}$ | |
| | | | | |
| | | $50^{2}$ | | |
| | | | | |
| | | | | |

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.