Track / Stage 3 / 185 of 260 #185 of 2000

Problem 185

AMC 10/12, early questions

Combinatorics Difficulty 3.6 Prove it Brazilian Mathematical Olympiad, Nível 2 · Brazil

Problem:
Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras. A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{A}=\{\mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{L}, \mathrm{P}, \mathrm{R}\}$ , a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{B}=\{\mathrm{M}, \mathrm{I}, \mathrm{O}\}$ e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{C}=\{\mathrm{D}, \mathrm{U}, \mathrm{N}, \mathrm{T}\}$ .
Devido ao aumento no número de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois dos conjuntos.
Qual o maior número de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras?

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:
Inicialmente, é possível fazer o emplacamento de $5 \times 3 \times 4 = 60$ bicicletas. Vamos analisar as duas situações possíveis:

- Aumentamos duas letras num dos conjuntos. Com isso, podemos ter

| $\mathcal{A} \times \mathcal{B} \times \mathcal{C}$ | Número de Placas |
| :---: | :---: |
| $7 \times 3 \times 4$ | 84 |
| $5 \times 5 \times 4$ | 100 |
| $5 \times 3 \times 6$ | 90 |

Assim, com a modificação mostrada, o número de novas placas é no máximo $100 - 60 = 40$ .

- Aumentar uma letra em dois dos conjuntos. Com isso, podemos ter

| $\mathcal{A} \times \mathcal{B} \times \mathcal{C}$ | Número de Placas |
| :---: | :---: |
| $6 \times 4 \times 4$ | 96 |
| $6 \times 3 \times 5$ | 90 |
| $5 \times 4 \times 5$ | 100 |

Neste caso, o número de placas novas também é no máximo 40.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.