Track / Stage 4 / 25 of 340 #285 of 2000

Problem 285

AMC 12 late, AIME early

Geometry Difficulty 4.5 Prove it Brazil

Problem:
Uma das diagonais de um quadrilátero inscritível é um diâmetro de seu círculo circunscrito.

Verifique que as interseções $E$ e $F$ das retas perpendiculares por $A$ e $C$ , respectivamente, à reta $BD$ satisfazem
$DE = BF$

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:
Estenda as perpendiculares $CF$ e $AE$ para a segunda interseção com o círculo nos pontos $H$ e $G$ , respectivamente. Como $AG \parallel CH$ e $AC$ é um diâmetro, segue que $AGCH$ é um retângulo. Seja $M$ o ponto médio de $EF$ . Por ser uma corda da circunferência, temos $OM$ perpendicular a $BD$ . Usando que $EF$ é perpendicular aos lados do retângulo, temos $EM = FM$ e daí
$DE = DM - ME = BM - MF = BF$

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.