Track / Stage 4 / 89 of 340 #349 of 2000

Problem 349

AMC 12 late, AIME early

Geometry Difficulty 4.7 Prove it XV Gara Nazionale di Matematica · Italy

Problem:

Dato un foglio rettangolare di lati $a$ e $b$ , con $a > b$ , determinare l'area del triangolo che risulta dalla sovrapposizione dei due lembi che si ottengono piegando il foglio lungo una diagonale (il triangolo colorato in grigio nella figura).

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Official solution

Solution:

Il triangolo $ABC$ è isoscele (gli angoli $\widehat{BAC}$ e $\widehat{ABC}$ corrispondono a due angoli alterni interni nel rettangolo diviso da una diagonale) e la sua area è $S = CB \cdot AD / 2$ ( $AD$ è l'altezza relativa a $CB$ ).

Posto $DB = a$ , $AD = b$ , $CB = AC = x$ e $DC = a - x$ , il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo $ACD$ fornisce
$b^2 + (a - x)^2 = x^2$
da cui
$x = \frac{a^2 + b^2}{2a}$
ed infine
$S = \frac{b\left(a^2 + b^2\right)}{4a}$

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.