Track / Stage 7 / 241 of 300 #1641 of 2000

Problem 1641

National olympiad second round; IMO P1/P4

Geometry Difficulty 7.5 Prove it IMO Selektion · Switzerland

Problem:

Im Dreieck $ABC$ sei $\angle BAC = 60^{\circ}$ . Sei $E$ ein Punkt auf der Geraden $AB$ , sodass $B$ zwischen $A$ und $E$ liegt und $BE = BC$ gilt. Analog sei $F$ ein Punkt auf $AC$ , sodass $C$ zwischen $A$ und $F$ liegt und $CF = BC$ gilt. Der Umkreis von $ACE$ schneide $EF$ in $K$ . Zeige, dass $K$ auf der Winkelhalbierenden von $\angle BAC$ liegt.

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Sei $S$ der Schnittpunkt von $BF$ und $CE$ . Es gilt (Aussenwinkelsatz, $BE = BC = CF$ ):
$\angle CSF = \angle BCS + \angle CBS = \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle CAB) = 60^{\circ}$
Hieraus folgt, dass $ABSC$ ein Sehnenviereck ist. Dies nutzen wir jetzt aus:
$\angle ABF = 180^{\circ} - \angle ACS = 180^{\circ} - \angle AKE = \angle AKF$
$ABKF$ ist also ebenfalls ein Sehnenviereck. Ausnutzung der Sehnenvierecke $AEKC$ und $ABKF$ liefert $\angle BEK = \angle FCK$ und $\angle KBE = \angle KFC$ . Zusammen mit $BE = FC$ folgt, dass die Dreiecke $BEK$ und $FCK$ kongruent sind, also gilt $KE = KC$ . Damit erhalten wir:
$\angle CAK = \angle CEK = \angle KCE = \angle KAE$
Somit haben wir gezeigt, dass $K$ auf der Winkelhalbierenden von $\angle BAC$ liegt.

Abbildung 3: Aufgabe 4

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.