Problem 1291

Comenzamos con una hoja y en cada paso agregamos $5$ o $7$ trozos. Luego queremos que
$$a) 1+5n+7m=24 \leftrightarrow 5n+7m=23. \text{ Notemos que } n \le 4 \text{ y } m \le 3.$$
Consideramos la igualdad módulo $7$ y tenemos $5n \equiv 23 \equiv 2 \ (\text{mod } 7)$, pero ninguno de los posibles valores de $n$ ($0$, $1$, $2$, $3$ y $4$) satisface la condición, por lo tanto no es posible.
$$b) 1+5n+7m=32 \leftrightarrow 5n+7m=31, \text{ luego } n \le 6 \text{ y } m \le 4.$$
Como en el caso anterior, obtenemos $5n \equiv 31 \equiv 3 \ (\text{mod } 7)$. En este caso las soluciones son de la forma $n=7k+2$, con $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$ y $6$. Resulta entonces que $k=0$ y $m=3$, luego $1+5 \cdot 2+7 \cdot 3=32$. Es posible obtener $32$ trozos cortando en $6$ trozos dos veces y en $8$ trozos $3$ veces.