Problem 1706

Solution:

a) Para André ganhar o livro ele deve retirar a bola preta. Como a caixa contém quatro bolas das quais apenas uma é preta, a probabilidade de ele retirar a bola preta é $\frac{1}{4}$.

Uma outra solução aparece na $2^{\mathrm{a}}$ solução do item $b$ ).

b)
1a solução: Para Dalva ganhar o livro, André, Bianca e Carlos devem retirar bolas brancas. Como inicialmente a caixa contém 3 bolas brancas, a probabilidade de André retirar uma bola branca é $\frac{3}{4}$. Supondo que André tire uma bola branca, sobrarão na caixa 2 bolas brancas e 1 preta; assim, a probabilidade de Bianca tirar uma bola branca é $\frac{2}{3}$. Do mesmo modo, se André e Bianca tirarem bolas brancas, a probabilidade de Carlos tirar uma bola branca será $\frac{1}{2}$. Assim, a probabilidade de André, Carlos e Bianca tirarem bolas brancas é $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, que é a probabilidade de Dalva ganhar o livro. Raciocínio semelhante mostra que a probabilidade de qualquer um dos amigos ganhar o livro é $\frac{1}{4}$, ou seja, o sorteio é justo e a ordem em que eles retiram as bolas não tem importância. Para entender melhor isso, veja a seguinte solução.

$2^{\mathrm{a}}$ solução: Mantendo as regras do sorteio, vamos pintar uma bola branca de azul e outra de vermelho; temos então quatro bolas diferentes na caixa. O número de sorteios possíveis passa a ser $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$; desses, Dalva ganha o livro quando André, Bianca e Carlos ficam com as bolas branca, azul e vermelha, o que pode acontecer de $3 \times 2 \times 1=6$ maneiras diferentes. Logo, a probabilidade de Dalva ganhar o livro é $\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$. Esse raciocínio se aplica a qualquer um dos amigos, justificando assim o comentário anterior sobre a justiça do sorteio.

c)
$1^{a}$ solução: André pode ganhar o livro de duas maneiras, a saber, quando a primeira bola retirada for preta ou então quando as quatro primeiras bolas retiradas forem brancas e a quinta preta. A probabilidade no primeiro caso é $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ e no segundo é $\frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{3}{28}$. Assim, a probabilidade procurada é $\frac{1}{4}+\frac{3}{28}=\frac{5}{14}$.

$2^{a}$ solução: A probabilidade de que André ganhe o livro na primeira rodada, como visto acima, é $\frac{1}{4}$. Para calcular a probabilidade de que ele ganhe o livro na segunda rodada vamos calcular os casos possíveis e os casos favoráveis. As primeiras cinco bolas podem ser sorteadas de $8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$ maneiras. Para que André ganhe o livro na quinta bola, as quatro primeiras bolas devem ser brancas e a quinta preta, o que pode ocorrer de $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2$ maneiras. Logo a probabilidade de que André ganhe o livro na quinta bola sorteada é $\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}=\frac{3}{28}$. Assim, a probabilidade procurada é $\frac{1}{4}+\frac{3}{28}=\frac{5}{14}$.

d)
$1^{a}$ solução: Dalva só vai ganhar o livro no caso em que as três primeiras bolas sorteadas sejam brancas e a quarta preta; de fato, se as quatro primeiras bolas sorteadas forem brancas, sobrarão na caixa duas brancas e duas pretas e uma bola preta será retirada antes que chegue a sua vez. Assim, a probabilidade de que Dalva ganhe o livro é $\frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{7}=\frac{2}{14}$.

$2^{\mathrm{a}}$ solução: Dalva só pode ganhar o livro no caso em que as três primeiras bolas sorteadas sejam brancas e a quarta preta. As quatro primeiras bolas podem ser sorteadas de $8 \times 7 \times 6 \times 5$ modos. Para que Dalva ganhe o livro, as três primeiras devem ser brancas e a quarta preta, o que pode ocorrer de $6 \times 5 \times 4 \times 2$ modos. Logo, a probabilidade de que Dalva ganhe o livro é $\frac{6 \times 5 \times 4 \times 2}{8 \times 7 \times 6 \times 5}=\frac{1}{7}=\frac{2}{14}$.

Fica como exercício para o(a) leitor(a) mostrar que as probabilidades de Bianca e Carlos ganharem o livro são, respectivamente, $\frac{4}{14} \mathrm{e} \frac{3}{14}$. O André foi bem esperto em propor esse novo sorteio!