Problem 951

Solution:
Nótese en primer lugar que si $x y=0$, entonces $x^{2}+y^{2}=0$, de donde resulta la solución $x=y=0$. Nótese también que si $x y<0$, entonces $x^{2}+y^{2}<0$, absurdo, luego $x, y$ tienen ambos el mismo signo. Como cambiar simultáneamente de signo a $x$ y a $y$ no altera la ecuación, podemos asumir a partir de este momento y sin pérdida de generalidad que $x, y$ son ambos enteros positivos. Sean $x=3^{m} a$ e $y=3^{n} b$ con $m, n$ enteros no negativos y $a, b$ enteros coprimos y no divisibles por $3$. Supongamos que $m \geq n$. Entonces la ecuación dada se transforma en
$$8\left(\left(3^{m-n} a\right)^{2}+b^{2}\right)=3^{3 m+n-4} a^{3} b^{3}$$
Como todo cuadrado perfecto da resto $0$ o $1$ al dividir entre $3$, como es bien conocido, el miembro de la izquierda no es divisible por $3$ y para que se cumpla la ecuación debe ser el exponente de $3$ en el término de la derecha igual a cero. Es decir, $3 m+n-4=0$ y como $m \geq n \geq 0$ esto implica que $m=n=1$. La ecuación ahora se simplifica y queda
$$8\left(a^{2}+b^{2}\right)=a^{3} b^{3}$$
Por la simetría de la expresión podemos suponer que $a \geq b$. Entonces
$$16 a^{2} \geq a^{3} b^{3} \Leftrightarrow 16 \geq a b^{3}$$
y tenemos dos posibilidades (1) $b=2$ de donde resulta $a=2$, (2) $b=1$ pero en este caso los únicos valores posibles de $a$ son $1,2,4,8$ y no satisfacen la ecuación $a^{3}-8 a^{2}-8=0$. Se deduce que $(a, b)=(2,2)$ y $(x, y)=(6,6)$. Finalmente, se tiene que las únicas soluciones posibles son:
$$(x, y)=(-6,-6), \quad(x, y)=(0,0), \quad(x, y)=(6,6)$$