Problem 519

Solution:

Observe que os números $189$, $8307$ e $99$ têm todos peso $18$, e que $99$ é o menor número que pesa $18$. Note que: para aumentar o peso de um número e minimizar o número é preciso que o número seja composto do maior número possível de algarismos $9$. Por outro lado, podemos dizer que o $0$ está eliminado dos algarismos a ser considerados porque ele aumenta o número sem aumentar o peso.

Temos que $2000 = 9 \times 222 + 2$. Logo, o número procurado tem então $222$ algarismos $9$, e um algarismo $2$ ou dois algarismos $1$. Eliminamos o caso dos números com dois algarismos $1$ porque eles têm $224$ algarismos, e logo são maiores do que os números que possuem o algarismo $2$ e têm $223$ algarismos. Finalmente, o número procurado tem $222$ algarismos $9$ e um $2$. Logo esse número é $299\ldots 999$, com $222$ algarismos $9$.