Track / Stage 6 / 92 of 400 #1092 of 2000

Problem 1092

National olympiad, first round

Algebra Difficulty 6.1 Prove it XXXV Olimpiada Matemática Española · Spain

Problem:

Una empresa produce semanalmente 300 bicicletas de montaña que vende íntegramente al precio de 600 euros cada una. Tras un análisis de mercados observa que si varía el precio, también varían sus ventas (de forma continua) según la siguiente proporción: por cada 7 euros que aumente o disminuya el precio de sus bicicletas, disminuye o aumenta la venta en 3 unidades.

a) ¿Puede aumentar el precio y obtener mayores ingresos?
b) ¿A qué precio los ingresos serán máximos?

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Al precio actual, los ingresos semanales son $600 \times 300 = 180.000$ euros.

a) Si incrementa el precio en 7 euros, entonces vende 297 bicicletas, obteniendo en este caso $607 \times 297 = 180.279$ euros. Luego la respuesta a la primera pregunta es: Sí.

b) Llamamos $x$ a la cantidad de euros en que incrementa el precio de cada bicicleta ( $x$ puede ser cualquier número real positivo o negativo, según aumente o disminuya el precio), entonces el nuevo precio de cada bicicleta será $600 + x$ . Según la proporción del enunciado, las ventas variarán hasta $300 - \frac{3}{7} x$ bicicletas.

Se considera la función de ingresos, donde la variable es el incremento de precio:
$f(x) = (600 + x) \times \left(300 - \frac{3}{7} x\right) = \frac{1}{7}\left(1.260.000 + 300x - 3x^{2}\right)$
Los puntos críticos de $f(x)$ se obtienen al anular la derivada: $f'(x) = (1/7)(300 - 6x)$ . El punto único crítico es $x = 50$ , que efectivamente da un máximo de la función $f(x)$ . Entonces la solución a la pregunta es: 650.

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