Track / Stage 4 / 171 of 340 #431 of 2000

Problem 431

AMC 12 late, AIME early

Number theory Difficulty 4.8 Prove it 65. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije · Slovenia

Problem:

Poišči vsa cela števila $n$ , ki jih lahko zapišemo v obliki $n=\frac{m+2021}{2021-m}$ , kjer je $m$ celo število.

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Enakost pomnožimo z $2021-m$ , da dobimo $2021 n - m n = m + 2021$ . Nato jo preuredimo do $2021(n-1) = m(n+1)$ in izrazimo $m = \frac{2021(n-1)}{n+1} = 2021 - \frac{2 \cdot 2021}{n+1}$ . Torej lahko v predpisani obliki zapišemo vsa tista cela števila $n$ , za katera je $\frac{2 \cdot 2021}{n+1}$ celo število. To pomeni, da mora biti $n+1$ delitelj števila $2 \cdot 2021 = 2 \cdot 43 \cdot 47$ . Delitelji tega števila so $\pm 1, \pm 2, \pm 43, \pm 47, \pm 86, \pm 94, \pm 2021$ in $\pm 4042$ . Rešitev naloge so torej cela števila
$-4043, -2022, -95, -87, -48, -44, -3, -2, 0, 1, 42, 46, 85, 93, 2020, 4041$

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.