Problem 1720

Solution:

Weil wegen (2) die $r_{i}$ nicht alle $0$ sein und wegen (1) nicht alle das gleiche Vorzeichen haben können, gilt $b>0$ und $a<0$. Mit $P=\left\{i: u_{i}>0\right\}$ und $N=\left\{i: u_{i} \leq 0\right\}$ sowie $p=|P|$ und $n=|N|$ gilt $p+n=2019$ und aus (1) folgt

$0=\sum_{i=1}^{2019} u_{i}=\sum_{i \in P} u_{i}-\sum_{i \in N}\left|u_{i}\right|$, also $\sum_{i \in P} u_{i}=\sum_{i \in N}\left|u_{i}\right|$.

Damit können wir abschätzen:

$\sum_{i \in P} u_{i}^{2} \leq \sum_{i \in P} b u_{i}=b \sum_{i \in N}\left|u_{i}\right| \leq b \sum_{i \in N}|a|=-n a b$ \hspace{0.5cm} (3)

sowie

$\sum_{i \in N} u_{i}^{2} \leq \sum_{i \in N} a u_{i} \leq|a| \sum_{i \in N}\left|u_{i}\right|=|a| \sum_{i \in P} u_{i} \leq-p a b$ \hspace{0.5cm} (4).

Es folgt $1=\sum_{i \in P} u_{i}^{2}+\sum_{i \in N} u_{i}^{2} \leq-(p+n) a b=-2019 a b$, und damit die Behauptung.

Solution 2:

Wiederum ausgehend von $b>0$ und $a<0$ betrachten wir die folgende konvexe Punktmenge $C$ in der $x$-$y$-Ebene:

(i) Der untere Rand von $C$ ist die Parabel $y=x^{2}$ im Bereich $a \leq x \leq b$.

(ii) Der obere Rand von $C$ ist die Gerade $g: y=(a+b) x-a b$ im Bereich $a \leq x \leq b$.

Jeder der Punkte $(u_{i}, u_{i}^{2})$ liegt auf dem unteren Rand von $C$. Daher liegt der Schwerpunkt $S$ dieser $2019$ Punkte, die mit gleicher Masse versehen seien, ebenfalls in $C$. Es gilt $S=\left(\frac{1}{2019} \sum_{i=1}^{2019} u_{i}, \frac{1}{2019} \sum_{i=1}^{2019} u_{i}^{2}\right)=\left(0, \frac{1}{2019}\right)$. Für $g$ gilt an der Stelle $x=0$, dass $y=-a b$ ist. $S$ darf nicht oberhalb der oberen Begrenzung liegen, woraus die Behauptung folgt.

Solution 3:

(Ein Ein-Zeilen-Beweis):

$0 \leq \sum_{i=1}^{2019}\left(r_{i}-a\right)\left(b-r_{i}\right)=\sum_{i=1}^{2019}\left(-r_{i}^{2}+(b+a) r_{i}-a b\right)=-1-2019 a b \Leftrightarrow a b \leq \frac{-1}{2019}$.