Track / Stage 6 / 211 of 400 #1211 of 2000

Problem 1211

National olympiad, first round

Number theory Difficulty 6.3 Prove it Olimpiada Naţională de Matematică · Romania

Problem:

a. Oldd meg az $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}$ egyenletet, ha $x \in \mathbb{Z}_{7}$ .

b. Határozd meg azokat az $n \geq 2$ természetes számokat, amelyekre az $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}$ egyenletnek egyetlen megoldása van $x \in \mathbb{Z}_{n}$ -ben!

Problem:

a. Rezolvaţi ecuaţia $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}$ , $x \in \mathbb{Z}_{7}$ .

b. Determinaţi numerele naturale $n \geq 2$ , pentru care ecuaţia $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}$ , $x \in \mathbb{Z}_{n}$ , are soluţie unică.

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

a. Cum $4$ şi $7$ sunt coprime, iar $(\mathbb{Z}_{7},+, \cdot)$ este corp, ecuaţia dată este echivalentă cu $\hat{4} x^{2}-\hat{4} x+\hat{1}=\hat{0}$ , adică, $(\hat{2} x-\hat{1})^{2}=\hat{0}$ , deci $\hat{2} x=\hat{1}$ , de unde $x=\hat{4}$ .

b. Fie $n \geq 2$ un număr natural pentru care ecuaţia dată are soluţie unică şi fie $a \in \mathbb{Z}_{n}$ soluţia respectivă. Atunci $(\hat{1}-a)^{2}-(\hat{1}-a)+\hat{2}=a^{2}-a+\hat{2}=\hat{0}$ , deci $\hat{1}-a$ este soluţie a ecuaţiei date.

Prin urmare, $a=\hat{1}-a$ , deci $\hat{2} a=\hat{1}$ . În particular, $\hat{2}$ este inversabil în inelul $\mathbb{Z}_{n}$ şi $a=\hat{2}^{-1}$ . Rezultă că $\hat{2}^{-2}-\hat{2}^{-1}+\hat{2}=\hat{0}$ , de unde $\hat{1}-\hat{2}+\hat{8}=\hat{0}$ , i.e., $\hat{7}=\hat{0}$ . Prin urmare, $n$ este un divizor al lui $7$ , deci $n=7$ .

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.