Problem 68

Solution:
Solução 1: Se existir esse número $N$, então
$$N = \frac{222\ldots2}{2008} = \frac{2 \times 111\ldots1}{2 \times 1004} = \frac{111\ldots1}{1004}$$
Logo, $N$ não é inteiro, por ser o quociente do número ímpar $111\ldots1$ pelo número par $1004$. Portanto, não existe tal $N$.

Solução 2: Fatorando $2008$, obtemos $2008 = 2^{3} \times 251$, portanto, $2008$ é divisível por $8$. Se existisse um inteiro $N$ tal que $2008 \times N = 222\ldots2$, teríamos, então, que $8$ dividiria $222\ldots2$. Por outro lado, sabemos que um número é divisível por $8$ se, e somente se, o número formado pelos últimos três algarismos for divisível por $8$. Mas $222 = 27 \times 8 + 6$ não é divisível por $8$. Logo, não existe um número $N$ tal que $2008 \times N = 222\ldots2$.