Track / Stage 3 / 131 of 260 #131 of 2000

Problem 131

AMC 10/12, early questions

Geometry Difficulty 3.5 Prove it Olimpiada Naţională de Matematică Primul baraj pentru Olimpiada Balcanică de Matematică pentru Juniori · Romania

Problem:

Fie $ABC$ un triunghi oarecare astfel încât $AB > AC$ . Punctul $P \in (AB)$ are proprietatea că $\angle ACP \equiv \angle ABC$ . Fie $D$ simetricul lui $P$ faţă de $AC$ şi $E$ punctul în care cercul circumscris triunghiului $BCD$ taie a doua oară dreapta $AC$ . Demonstraţi că $AE = AC$ .

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Fie $Q$ punctul în care cercul circumscris triunghiului $BCD$ intersectează a doua oară dreapta $AB$ . Atunci $\angle QEA \equiv \angle QBC \equiv \angle ECP$ , deci $EQ \parallel PC$ .

În plus, $\angle ECP \equiv \angle ECD$ implică $QD \parallel EC$ , deci $EQ = CD = CP$ .

Deducem că $EQCP$ este paralelogram, de unde concluzia.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.