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Problem 1249

National olympiad, first round

Geometry Difficulty 6.3 Prove it Préparation Olympique Française de Mathématiques - ENVOI 4 : POT-POURRI · France

Problem:

Soit $ABC$ un triangle dont les trois angles sont aigus, avec $AB > AC$ , et soit $\Omega$ son cercle circonscrit. On note $M$ le milieu de $[BC]$ . Les tangentes à $\Omega$ en $B$ et $C$ s'intersectent en $P$ , et les droites $(AP)$ et $(BC)$ se coupent en $S$ . On note $D$ le pied de la hauteur issue de $B$ dans $ABP$ , et $\omega$ le cercle circonscrit à $CSD$ . Enfin, on note $K$ le second point d'intersection (après $C$ ) de $\omega$ et $\Omega$ .

Montrer que $\widehat{CKM} = 90^{\circ}$ .

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

L'idée est de se rendre compte que la figure contient de nombreux points cocycliques. Pour commencer, on a $PB = PC$ donc $(MP)$ est la médiatrice de $[BC]$ , et en particulier l'angle $\widehat{BMP}$ est droit. Comme $\widehat{BDP}$ l'est aussi, les points $B, D, M$ et $P$ sont cocycliques sur le cercle $\Gamma$ de diamètre $[BP]$ . Si on trace ce cercle sur notre figure, il semble que $\Gamma$ passe aussi par $K$ . En effet, on va vérifier par chasse aux angles que $B, D, K$ et $P$ sont cocycliques. D'une part, en utilisant le théorème de l'angle inscrit, on a
$\widehat{KDP} = 180^{\circ} - \widehat{KDS} = \widehat{KCS} = \widehat{KCB}.$
D'autre part, en utilisant le cas limite du théorème de l'angle inscrit, on a
$\widehat{KBP} = \widehat{KCB}$
donc les cinq points $B, D, K, M$ et $P$ sont cocycliques. On peut maintenant conclure en décomposant l'angle $\widehat{CKM}$ en $D$ pour pouvoir utiliser un maximum de cercles :
$\widehat{CKM} = \widehat{CKD} + \widehat{DKM} = 180^{\circ} - \widehat{CSD} + \widehat{DBM} = \widehat{BSD} + \widehat{DBS} = 180^{\circ} - \widehat{BDS} = 90^{\circ}$

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.