Problem 1902

Solution:

Seien $k_{B}$ und $k_{C}$ zwei Kreise um $B$ bzw. $C$ mit Radius $2$. Wir definieren die zwei Gebiete $S$ und $S'$ folgendermassen:

Die Gebiete sind in der Skizze eingezeichnet. Offensichtlich erfüllen beide Gebiete die Bedingung (i).

Um Bedingung (ii) zu zeigen, nehmen wir nun an, wir haben ein Dreieck $P_{1} P_{2} P_{3}$ gegeben mit den Streckenlängen $a \leq b \leq c$.

Wir suchen nun ein Dreieck $ABC$ mit Streckenlängen $a' \leq b' \leq c'$, das ähnlich zu $P_{1} P_{2} P_{3}$ ist. Unsere erste Beobachtung ist, dass $AC$ nicht strikt größer sein darf als $AB$, da sonst $A$ nicht im ersten Quadranten $(x \geq 0, y \geq 0)$ liegt. Das heißt, wir dürfen die längste Seite $c'$ nicht als $AB$ wählen.

Wir haben daher zwei Möglichkeiten:

1. $BC = c'$
2. $AB = c'$

Im ersten Fall folgt noch $AB = b'$, $AC = a'$ (wieder da $AC$ kleiner als $AB$ sein muss). Im zweiten wählen wir noch $BC = b'$, $AC = a'$ (hier hätten wir auch eine andere Möglichkeit, aber unsere funktioniert, um $BA \cdot BA' = 4$ zu zeigen).

Dies definiert uns für jedes Dreieck einen eindeutigen Punkt $A$.

Wir können nun sehen, dass wir im ersten Fall $A \in S'$ haben. Denn da $AC \leq BC$ muss $A$ im Kreis $k_{C}$ liegen (mit dem Extremfall eines gleichschenkligen Dreiecks mit $b' = c'$, bei dem $A$ auf dem Kreis liegt). Außerdem darf $A$ nicht im Kreis $k_{B}$ liegen, da wir $BC \leq AB$ haben (mit dem Extremfall eines gleichschenkligen Dreiecks mit $a' = b'$, bei dem $A$ auf dem Kreis $k_{B}$ liegt).

Außerdem haben wir für jeden Punkt in $S'$ die Bedingung an die Strecken erfüllt, das heißt das Gebiet $S'$ erfüllt die Bedingung (ii).

Fast gleich können wir zeigen, dass das Gebiet $S$ die Bedingung (ii) erfüllt, wenn wir die zweite Möglichkeit wählen.

Bemerkung: Im Fall eines gleichseitigen Dreiecks oder eines gleichschenkligen Dreiecks mit $a' = b'$ sind die beiden Möglichkeiten identisch und wir erhalten $A = S \cap S'$.

Wenn wir das Beispiel des gleichseitigen Dreiecks nehmen, bemerken wir auch, dass $BA \cdot BA' = 4$ gelten muss. Wir können nun die Ähnlichkeit $\left(\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}\right)$ und $BC = 2$ benutzen, um dies für beliebige Dreiecke zu zeigen:

Im ersten Fall haben wir $BC = c'$ und $AB = b'$, also
$$\frac{AB}{BC} = \frac{b'}{c'} = \frac{b}{c} \Longleftrightarrow AB = \frac{b}{c} \cdot 2$$
Im zweiten Fall haben wir $BC = b' = 2$ und $AB = c'$, also
$$\frac{A'B}{BC} = \frac{c'}{b'} = \frac{c}{b} \Longleftrightarrow A'B = \frac{c}{b} \cdot 2$$
Zusammen also $AB \cdot A'B = 4$.