Problem 1938

Solution:

Nummer de hoekpunten van de $2n$-hoek met de klok mee $1$ tot en met $2n$ en zij $a_{i}$ de waarde van hoekpunt $i$. Omdat het aantal hoekpunten van de veelhoek even is, kunnen we elk hoekpunt koppelen aan het punt er precies tegenover. We tellen de waarden van elk tweetal tegenoverliggende hoekpunten bij elkaar op en verkrijgen zo de getallen $s_{i} = a_{i} + a_{i+n}$ met $1 \leq i \leq n$.

Als vier hoekpunten $A, B, C$ en $D$ in die volgorde een rechthoek vormen, dan is $\angle ABC = 90^{\circ}$ en $\angle ADC = 90^{\circ}$, dus $B$ en $D$ liggen volgens Thales op de cirkel met middellijn $AC$. Omdat alle hoekpunten van de veelhoek op zijn omgeschreven cirkel liggen, is $AC$ blijkbaar een middellijn van de omgeschreven cirkel. Dus $A$ en $C$ zijn tegenoverliggende hoekpunten en hetzelfde geldt voor $B$ en $D$. Andersom geldt dat als $A$ en $C$ tegenoverliggende hoekpunten zijn en $B$ en $D$ ook, dat dan $ABCD$ een rechthoek is, ook wegens Thales. Kortom, vier punten vormen een rechthoek dan en slechts dan als ze tot twee paren tegenoverliggende hoekpunten behoren.

Er moet dus gelden dat $s_{i} + s_{j}$ priem is voor alle $1 \leq i < j \leq n$. Stel dat minstens drie van de getallen $s_{i}$ dezelfde pariteit hebben, zeg $s_{j}, s_{k}$ en $s_{l}$. Dan is de som van elke twee van die drie even, maar tegelijkertijd priem, dus die som moet in alle gevallen gelijk aan $2$ zijn. Dus $s_{j} + s_{k} = s_{k} + s_{l} = s_{j} + s_{l}$, waaruit volgt dat $s_{j} = s_{k} = s_{l}$. Maar omdat $s_{j} + s_{k} = 2$, geeft dit $s_{j} = s_{k} = s_{l} = 1$. We concluderen dat hoogstens twee van de getallen $s_{i}$ even zijn, en dat als er drie of meer oneven zijn, deze allemaal gelijk moeten zijn aan $1$.

De totale som van alle $s_{i}$ is gelijk aan de som van alle getallen bij de hoekpunten, dus gelijk aan
$$(m+1) + (m+2) + \ldots + (m+2n) = 2mn + \frac{1}{2} \cdot 2n \cdot (2n+1) = 2mn + n(2n+1)$$
Modulo $2$ is deze som congruent aan $n$. Anderzijds moet deze som modulo $2$ congruent zijn aan het aantal oneven $s_{i}$. Dus het aantal oneven $s_{i}$ heeft dezelfde pariteit als $n$. Omdat er totaal $n$ getallen $s_{i}$ zijn, is het aantal even $s_{i}$ dus even. We hebben al gezien dat dat er hoogstens twee zijn, dus het zijn er nul of twee.

Stel dat $n=4$ en stel dat er twee $s_{i}$ even zijn en dus ook twee $s_{i}$ oneven. Dan is de som van de twee even $s_{i}$ gelijk aan $2$ en de som van de twee oneven $s_{i}$ ook gelijk aan $2$, dus de totale som van de $s_{i}$ is $4 = n$. Stel nu dat $n \geq 5$ en stel dat er twee $s_{i}$ even zijn. Dan zijn er $n-2 \geq 3$ van de $s_{i}$ oneven, dus alle oneven $s_{i}$ zijn gelijk aan $1$. De twee even $s_{i}$ samen zijn gelijk aan $2$. Dus de totale som van de $s_{i}$ is $(n-2) + 2 = n$. (Je kunt ook bewijzen dat het geval met precies twee even $s_{i}$ onmogelijk is.) Stel nu dat er geen even $s_{i}$ zijn. Dan zijn alle $s_{i}$ oneven en dus ook allemaal gelijk aan $1$, dus is de totale som van de $s_{i}$ gelijk aan $n$.

In alle gevallen is de totale som van de $s_{i}$ dus $n$. We hebben ook gezien dat deze som gelijk is aan $2mn + n(2n+1)$. Dus $2mn + n(2n+1) = n$, waaruit na deling door $n \neq 0$ volgt $2m + 2n + 1 = 1$, dus $m = -n$.

We laten nu zien dat als $m = -n$, er inderdaad een oplossing bestaat. Neem $a_{i} = i$ en $a_{n+i} = 1 - i$ voor $1 \leq i \leq n$. Dan worden de getallen $1, 2, \ldots, n$ en de getallen $0, -1, \ldots, -n+1$ gebruikt en dat zijn samen precies de getallen $m+1, m+2, \ldots, m+2n$. Verder geldt $s_{i} = i + (1 - i) = 1$ voor alle $i$. Dus elke rechthoekssom is gelijk aan $2$ en dat is een priemgetal.

We concluderen dat $m = -n$ de enige waarde van $m$ is die voldoet.