Problem 1871

Solution:
Vorbemerkung: Im Folgenden sei $n$ ungerade. Ohne Einschränkung ist $a>b, c>d, e>f, g>h$. Die Bedingungsgleichung ist dann äquivalent zu
$$n 2^{d+h-b-f}\left(2^{c-d}-1\right)\left(2^{g-h}-1\right)=\left(2^{a-b}-1\right)\left(2^{e-f}-1\right).$$
Da $n$ ungerade ist, gilt $d+h-b-f=0$, und man kann ohne Einschränkung $d=h=b=f=0$ setzen:
$$n\left(2^{c}-1\right)\left(2^{g}-1\right)=\left(2^{a}-1\right)\left(2^{e}-1\right)$$

1. Lösung (skizziert): Die Zahlen der Form $n=19+64k$ mit ganzzahligem $k \geqq 0$ lassen sich nicht darstellen. Für $x>1$ liefert $2^{x}-1$ Rest 3 bei Division durch 4, für $x=1$ Rest 1. Nur wenn eine ungerade Anzahl der Variablen $a, c, e, g$ Wert 1 hat, kann Gleichung (*) erfüllt sein. Haben drei der Variablen Wert 1, kann die Gleichung nicht gelten, da $n$ nicht die Form $2^{x}-1$ hat. Also hat genau eine der Klammern in $(*)$ Wert 1. Durch entsprechende Überlegungen und Fallunterscheidungen zu Resten bei Division durch 8, 16, 32, 64 kann man die Werte der restlichen Klammern festlegen und jeweils zum Widerspruch führen.

2. Lösung (skizziert): Die Zahl $n=19$ ist nicht darstellbar. Man nutzt die Beziehung $\gcd(2^{x}-1, 2^{y}-1)=2^{\gcd(x, y)}-1$, um zu zeigen: Aus $(2^{x}-1) \mid (2^{y}-1)(2^{z}-1)$ folgt $x \mid y$ oder $x \mid z$.
Hieraus folgt mit $(*)$, dass sich 19 als
$$19=\frac{2^{a}-1}{2^{c}-1} \cdot \frac{2^{e}-1}{2^{g}-1} \quad \text{oder} \quad 19=\frac{2^{a}-1}{(2^{c}-1)(2^{g}-1)} \cdot (2^{e}-1)$$
als Produkt zweier ganzzahliger Faktoren schreiben lässt. Da 19 eine Primzahl ist und nicht die Form $2^{e}-1$ hat, genügt es zu zeigen, dass die Gleichung
$$19=\frac{2^{a}-1}{(2^{c}-1)(2^{g}-1)}$$
nicht gelten kann. Der Zähler enthält den Primfaktor 19, was nur für $a \geq 18$ möglich ist. Die Zahlen $c$ und $g$ teilen $a$, ohne Einschränkung ist $c \geq g$. Für $c=g=a/2$ hat der Bruch den nichtganzzahligen Wert $1+2/(2^{a/2}-1)$, für $c \leq a/3, g \leq a/3$ oder für $c=a/2, g \leq a/4$ ist der Wert zu groß. Damit ist $c=a/2, g=a/3$, und der Bruch hat den nicht ganzzahligen Wert $2^{a/6}+1/(2^{a/6}-1)$.

Bemerkung: Nicht immer ist $n$ Produkt zweier ganzzahliger Faktoren der Form $(2^{x}-1)/(2^{y}-1)$. Beispielsweise ist $13=\frac{(2^{12}-1)(2^{2}-1)}{(2^{6}-1)(2^{4}-1)}$, aber man kann wie bei der 2. Lösung zeigen, dass 13 nicht in der Form $(2^{x}-1)/(2^{y}-1)$ darstellbar ist.