Problem 1519

Sean $PQRS$ el cuadrado de lado 10 cm, $PQ$ el lado de apoyo, $M(m_1, m_2)$ el punto medio de dicho lado y $C(c_1, c_2)$ el centro del cuadrado tal y como muestra la figura donde, además, señalamos los puntos $A, B, D$ y $E$.

a) Caso del punto medio $M$.
$$OM = PM = \frac{1}{2}PQ = 5,$$
luego $m_1^2 + m_2^2 = 25$.

b) Caso del centro del cuadrado $C$.
Los triángulos $AQM$, $AOM$, $BMO$ y $DMC$ son claramente congruentes
$$AM = OB = DC, \quad AQ = OA = MD = BM, \text{ y } OM = MQ = MC = 5.$$
Así, resulta que las coordenadas del centro del cuadrado, en su deslizamiento, son iguales
$$c_1 = OE = OB + BE = m_1 + MD = m_1 + m_2,$$
$$c_2 = EC = ED + DC = OA + AM = m_2 + m_1$$
Luego, el centro del cuadrado se mueve, en este primer cuadrante, sobre un segmento de la línea. Las posiciones extremas se dan cuando el lado $PQ$ se apoya sobre alguno de los ejes, $C(5, 5)$, y cuando forma una escuadra, esto es, un triángulo rectángulo isósceles, con ellos, $C(5\sqrt{2}, 5\sqrt{2})$. Trabajando análogamente en los demás cuadrantes podemos afirmar que el centro del cuadrado recorre el segmento de sus bisectrices que viene dado por la expresión
$$C(c_1, c_2) = (\pm 5\lambda, \pm 5\lambda) \text{ con } \lambda \in [1, \sqrt{2}].$$

c) Caso de los vértices del cuadrado en el lado de contacto: $P$ y $Q$.
Los vértices $P$ y $Q$ se mueven sobre segmentos de los ejes coordenados, esto es, de las líneas $x = 0$ y $y = 0$.

Los casos extremos se dan cuando el lado de contacto descansa sobre los ejes. Así: si las coordenadas de uno son $(0, \lambda)$, las del otro $(\pm\sqrt{100-\lambda^2}, 0)$ y si las coordenadas de uno son $(\lambda, 0)$, las del otro son $(0, \pm\sqrt{100-\lambda^2})$, con $\lambda \in [-10, 10]$.

d) Caso de los vértices del cuadrado en el lado opuesto al de contacto: $R$ y $S$.
De nuevo, apoyándonos en la figura, por ser congruentes los triángulos *OQP*, *QHR* y *PFS* y, a la vez, semejantes a *AQM*:
$$R(r_1, r_2)\quad r_1 = 2m_2\quad r_2 = 2m_1 + m_2$$
de donde $m_1 = \frac{r_2 - r_1}{2}$, $m_2 = r_1/2$. Como sabemos que $m_1^2 + m_2^2 = 25$, tenemos para $R$
$$\left(\frac{r_2 - r_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{r_1}{2}\right)^2 = 25$$
o bien $(r_2 - r_1)^2 + r_1^2 = 100$. El lugar geométrico está, pues, en la elipse de ecuación $(y-x)^2 + x^2 = 100$ y es un arco de elipse que se puede parametrizar como
$$y = x + \sqrt{100 - x^2}$$
con $x \in [0, 10]$ e $y \in [10, 10\sqrt{2}]$. Análogamente, para $S$ sale el arco de elipse $y^2 + (x - y)^2 = 100$ con
$$x = y + \sqrt{100 - y^2}$$
$$\text{con } y \in [0, 10] \text{ y } x \in [10, 10\sqrt{2}].$$
En los demás cuadrantes sale de forma parecida:

Segundo cuadrante:
$$y = -x + \sqrt{100 - x^2}$$
$$\text{con } x \in [-10, 0] \text{ e } y \in [10, 10\sqrt{2}].$$
$$x = -y - \sqrt{100 - y^2}$$
$$\text{con } y \in [0, 10] \text{ y } x \in [-10\sqrt{2}, -10].$$
Tercer cuadrante:
$$y = x - \sqrt{100 - x^2}$$
$$\text{con } x \in [-10, 0] \text{ e } y \in [-10, -10\sqrt{2}].$$
$$x = y - \sqrt{100 - y^2}$$