Track / Stage 3 / 5 of 260 #5 of 2000

Problem 5

AMC 10/12, early questions

Number theory Difficulty 3.0 Prove it Nível 2 · Brazil

Problem:

Quantos pares de inteiros positivos $(x, y)$ são soluções da equação $3x + 5y = 501$ ?

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

A equação dada é equivalente a $y = \frac{3(167 - x)}{5}$ . Como $y$ é um inteiro positivo, $167 - x$ deve ser um múltiplo positivo de $5$ , ou seja:
$167 - x = 5k \quad \Rightarrow \quad x = 167 - 5k$

$x = 5 \times 33 + 2 - 5k \quad \Rightarrow \quad x = 5(33 - k) + 2$

onde $k$ é um inteiro positivo. Como $x$ é positivo, devemos ter $k \leq 33$ . Consequentemente, $k = 1, 2, \ldots, 33$ , o que nos garante $33$ soluções para o problema proposto.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.