Problem 1591

Solution:

a) Os jogadores de $S$, em partidas disputadas apenas entre si, obtiveram $\frac{10(10-1)}{2}=45$ pontos. Como os que eles obtiveram jogando entre si correspondem a metade dos pontos que cada um obteve no torneio, podemos concluir que a soma dos pontos dos jogadores de $S$ é $45+45=90$.

b) Sejam $n$ o número de jogadores do torneio e $T$ o conjunto dos outros $n-10$ jogadores. Jogando apenas entre si, os jogadores de $T$ obtiveram $\frac{(n-10)(n-11)}{2}$ pontos. Como eles obtiveram metades de seus pontos jogando com jogadores de $S$, podemos concluir que eles obtiveram a outra metade jogando entre si. Consequentemente, a soma das pontuações de todos os jogadores de $T$ é $(n-10)(n-11)$. Como a soma das pontuações de todos os jogadores corresponde ao total de jogos, temos
$$\begin{aligned} 90+(n-10)(n-11) & =\frac{n(n-1)}{2} \\ n^{2}-41 n+400 & =0 \end{aligned}$$
As raízes desta equação do segundo grau são $16$ e $25$. Se $n=16$, os $16-10=6$ melhores jogadores que obtiveram, em conjunto, $(16-10)(16-11)=30$ pontos. Como cada jogador entre os $6$ melhores fez pelo menos tantos pontos quanto os $10$ piores, a média de pontos em $T$ é pelo menos a média de pontos de $S$, ou seja,
$$5=\frac{30}{6} \geq \frac{90}{10}=9$$
Isto é um absurdo. Logo, só nos resta $n=25$. Resta apenas mostrar que é possível cumprirmos as exigências do torneio com $25$ jogadores.

Considere a divisão das $25$ pessoas em três grupos:
$$\begin{aligned} & G_{1}=\{J_{1}, J_{2}, J_{3}, J_{4}, J_{5}, J_{6}\} \\ & G_{2}=\{J_{7}, J_{8}, J_{9}, J_{10}, J_{11}, J_{12}, J_{13}, J_{14}, J_{15}\} \\ & G_{3}=\{J_{16}, J_{17}, J_{18}, J_{19}, J_{20}, J_{21}, J_{22}, J_{23}, J_{24}, J_{25}\} \end{aligned}$$
Todos os jogos entre elementos de $G_{2} \cup G_{3}$ terminarão empatados. Vamos agora definir o resultado entre as partidas dos elementos de $G_{1}$ contra os outros competidores:

i) Os elementos de $G_{1}$ vão ganhar todas as partidas contra elementos de $G_{3}$.

ii) Todos os jogos entre dois elementos de $G_{1}$ terminarão empatados.

iii) Cada elemento de $G_{1}$ irá vencer exatamente seis elementos de $G_{2}$ e empatará com os outros $3$ restantes. Para isto, representando uma vitória por meio de uma seta $(\rightarrow)$, estabeleceremos:
$$\begin{aligned} J_{1} & \rightarrow J_{10}, J_{11}, J_{12}, J_{13}, J_{14}, J_{15} \\ J_{2} & \rightarrow J_{10}, J_{11}, J_{12}, J_{13}, J_{14}, J_{15} \\ J_{3} & \rightarrow J_{7}, J_{8}, J_{9}, J_{13}, J_{14}, J_{15} \\ J_{4} & \rightarrow J_{7}, J_{8}, J_{9}, J_{13}, J_{14}, J_{15} \\ J_{5} & \rightarrow J_{7}, J_{8}, J_{9}, J_{10}, J_{11}, J_{12} \\ J_{6} & \rightarrow J_{7}, J_{8}, J_{9}, J_{10}, J_{11}, J_{12} \end{aligned}$$
Com esta distribuição, os jogadores de $G_{1}$, $G_{2}$ e $G_{3}$, obterão $20$, $10$ e $9$ pontos, respectivamente. Além disto, cada elemento destes três grupos terá obtido metade de seus pontos contra os elementos de $G_{3}$.