Track / Stage 4 / 216 of 340 #476 of 2000

Problem 476

AMC 12 late, AIME early

Combinatorics Difficulty 4.9 Prove it 45. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije · Slovenia

Problem:

Tina je na pet listkov zapisala po eno naravno število, a ni hotela izdati, katera števila je zapisala. Prebrisani Žan jo je prepričal, da mu je povedala vse vsote po dveh števil. Zvedel je, da so bile vsote 17, 20, 28, $14, 42, 36, 28, 39, 25$ in 31. Katera števila je zapisala Tina?

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Označimo števila z $a, b, c, d$ in $e$ . Predpostavimo lahko, da velja $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ . Uredimo vsote po velikosti: $14, 17, 20, 25, 28, 28, 31, 36, 39, 42$ . Gotovo je $a+b=14$ , $a+c=17$ , $d+e=42$ in $c+e=39$ . Če seštejemo vse vsote, se vsako od števil pojavi v tej vsoti natanko štirikrat, zato je $4(a+b+c+d+e)=280$ ali $a+b+c+d+e=70$ . Ker je $a+b=14$ in $d+e=42$ , je $c=14$ . Sedaj ni težko poiskati še drugih štirih števil, tako da je rešitev: $3, 11, 14, 17, 25$ .

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.