Track / Stage 3 / 241 of 260 #241 of 2000

Problem 241

AMC 10/12, early questions

Algebra Difficulty 3.9 Find the answer Nível 3 · Brazil

Problem:

Equação cúbica - Sobre a equação $2007 x^{3}+2006 x^{2}+2005 x=0$ é certo afirmar:
(a) Não possui raízes
(b) Tem 3 raízes reais distintas
(c) Tem 2 raízes iguais
(d) Tem apenas uma raiz real
(e) Tem 3 raízes positivas

Your answer

Official solution

Solution:

Observemos que $x=0$ é uma solução, logo as possibilidades (a) e (e) ficam descartadas. Agora só precisamos estudar as soluções de $2007 x^{2}+2006 x+2005=0$ , que é uma equação do $2^{o}$ grau com discriminante
$\begin{aligned} \Delta & =2006^{2}-4 \times 2007 \times 2005=2006^{2}-4(2006+1)(2006-1) \\ & =2006^{2}-4\left(2006^{2}-1\right)=-3 \times 2006^{2}+4<0 \end{aligned}$
logo não possui raízes reais. Portanto, a equação inicial tem uma única raiz real, e a opção correta é (d).

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.