Track / Stage 3 / 125 of 260 #125 of 2000

Problem 125

AMC 10/12, early questions

Algebra Difficulty 3.4 Prove it Nível 2 · Brazil

Problem:

Multiplicação com letras - Na operação abaixo, as letras $a, b$ e $c$ são algarismos distintos e diferentes de 1.
$\begin{array}{r} a b b \\\times \quad c \\\hline b c b 1 \end{array}$
Determine os valores de $a, b$ e $c$ .

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Se o produto de $b$ por $c$ termina em $1$ , então $b \times c$ pode ser $21$ ou $81$ , segue que $b \times c = 3 \times 7$ ou $9 \times 9$ . A única possibilidade de escrever o produto de dois números distintos menores que $10$ é $21 = 3 \times 7$ . Assim temos dois possíveis casos:

1o caso: $b = 3$ e $c = 7$ :
$\begin{array}{r} a 3 3 \\\times \quad 7 \\\hline 3 7 3 1 \end{array}$
Neste caso $\frac{3731}{7} = 533$ e, consequentemente, $a = 5$ .

2o caso: $b = 7$ e $c = 3$ :
Nesta caso $\frac{7371}{3} = 2457$ . Logo, este caso não ocorre.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.