Problem 228

Solution:
Ecuaţia se poate scrie echivalent sub forma $(2x-1)^{2}+(2y-1)^{2}+(2z-1)^{2}=7$.

Dacă această ecuaţie ar avea o soluţie raţională $(x, y, z)$, notând $2x-1=\frac{a_{1}}{b_{1}}$, $2y-1=\frac{a_{2}}{b_{2}}$, $2z-1=\frac{a_{3}}{b_{3}}$, am obţine că numerele întregi $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}$ satisfac egalitatea
$$\left(a_{1} b_{2} b_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} a_{2} b_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} b_{2} a_{3}\right)^{2}=7\left(b_{1} b_{2} b_{3}\right)^{2}.$$
Acest fapt ar implica existenţa a patru numere întregi $a, b, c, d$ astfel ca $a^{2}+b^{2}+c^{2}=7d^{2}$.

Dacă c.m.m.d.c. $(a, b, c, d)=k$, împărţind cu $k^{2}$ am găsi o soluţie $(a, b, c, d) \in \mathbb{Z}^{4}$ a ecuaţiei $a^{2}+b^{2}+c^{2}=7d^{2}$ cu c.m.m.d.c. $(a, b, c, d)=1$.

Atunci $a, b, c, d$ nu pot fi toate pare. Deoarece un pătrat perfect dă unul din resturile $0, 1$ sau $4$ la împărţirea cu $8$, membrul stâng dă unul din resturile $1, 2, 3, 5$ sau $6$ la împărţirea cu $8$, în vreme ce $7d^{2}$ dă rest $0$, $4$ sau $7$. Prin urmare egalitatea nu poate avea loc.