Problem 1771

Solution:

In der Figur ist $M$ zunächst nur der Schnittpunkt von $XI$ und $AC$. $N$ ist der Schnittpunkt von $XU$ und $AB$ und $Y$ der Schnittpunkt von $XI$ und $AB$. Die halben Innenwinkel des Dreiecks $ABC$ sind mit $\alpha, \beta$ bzw. $\gamma$ bezeichnet. Wegen $\angle UIC = 90^{\circ}$ ist $\angle CUI = \alpha + \beta$ und daher $\angle BNU = \angle BAI = \angle BIU = \alpha$, so dass die Punkte $B, U, I$ und $N$ auf einem Kreis liegen. Deshalb gilt $\overline{\Pi U} = \overline{IN}$ (Sehnen zu $\beta$) und wegen $X \perp NU$ folgt $\overline{NX} = \overline{XU}$. Anwendung der Strahlensätze führt auf
$$\frac{\overline{VX}}{\overline{VA}} = \frac{\overline{XU}}{\overline{AI}} = \frac{\overline{NX}}{\overline{AI}} = \frac{\overline{YX}}{\overline{YI}}$$
woraus $YV \parallel AI$ folgt. Also ist auch $\angle BYV = \alpha = \angle BN$, so

dass die Punkte $B, V, I$ und $Y$ auf einem Kreis liegen. Daher ist $\angle VBI = \angle VYI = 90^{\circ}$. Da die Halbierenden von Innen- und Außenwinkel an einer Ecke im Dreieck stets orthogonal sind, ist $BV$ die Halbierende des Außenwinkels bei $B$. Im Sehnenviereck $ABVC$ (Umkreis von $ABC$) erkennen wir daher $\angle VAC = \angle VBC = \alpha + \gamma$ und $\angle ACV = 180^{\circ} - \angle VBA = 180^{\circ} - (\alpha + 2\beta + \gamma) = \alpha + \gamma$, also $\angle VAC = \angle ACV$. Das Dreieck $AVC$ ist somit gleichschenklig mit der Spitze $V$.

Um nun zu zeigen, dass $M$ der Mittelpunkt von $AC$ ist, reicht der Nachweis von $\angle VMC = 90^{\circ}$. Dazu verwenden wir in den Sehnenvierecken $BV IY$ und $ABVC$, dass $\angle VIM = 180^{\circ} - \angle YIV = \angle VBY = \angle VBA = 180^{\circ} - \angle ACV$ ist, so dass auch $VCMI$ ein Sehnenviereck ist. Dies liefert $\angle VMC = \angle VIC = 90^{\circ}$.