Problem 121

Solution:

Temos que $1000 \leq 4 a^{2} < 10000$ e também $1000 \leq \frac{4}{3} \times a^{3} < 10000$.

De $1000 \leq 4 a^{2} < 10000$ segue que $250 \leq a^{2} < 2500$. Sendo $a$ um número inteiro e $15^{2} = 225$, $16^{2} = 256$ e $50^{2} = 2500$, temos que $15 < a < 50$.

De $1000 \leq \frac{4}{3} a^{3} < 10000$ temos $750 \leq a^{3} < 7500$. Mas, $10^{3} = 1000$, $9^{3} = 729$, $20^{3} = 8000$ e $19^{3} = 6859$. Assim, $9 < a < 20$.

Portanto, temos $a = 16, 17, 18$ ou $19$.

Por outro lado, como $\frac{4}{3} \times a^{3}$ é um número inteiro, concluímos que $a^{3}$ é múltiplo de $3$ e consequentemente, $a$ é múltiplo de $3$. Logo, $a = 18$.