Problem 65

Solution:

Observemos que:

a. A cada dez números imprime-se uma vez o $1$ nas unidades;

b. A cada cem números imprime-se dez vezes o $1$ nas dezenas;

c. A cada mil números imprime-se cem vezes o $1$ nas centenas.

Assim, de $1$ até $999$, imprime-se o algarismo $1$ um total de $300$ vezes, das quais $100$ vezes nas unidades, $100$ vezes nas dezenas e $100$ vezes nas centenas.

De $1000$ até $1999$, imprime-se o algarismo $1$ outras $300$ vezes dentre unidades, dezenas e centenas, mais $1000$ vezes na posição do milhar, portanto, entre $1$ e $1999$, o número de vezes que se imprime o $1$ é $300+300+1000=1600$.

Agora, entre $2000$ e $2999$, imprime-se o $1$ mais $300$ vezes, completando $1600+300=1900$.

De $3000$ a $3099$, temos $20$ algarismos $1$, de $3100$ a $3119$, temos $32$ algarismos $1$ e, de $3120$ a $3149$, temos $32$ algarismos $1$, portanto, até $3149$, o número de vezes que se imprime o $1$ é $1900+20+32+32=1984$.

Como faltam $4$ algarismos $1$, o número de páginas do dicionário é $3152$.

Solution:

Observemos que:
- a cada 10 números imprime-se 1 vez o $1$ nas unidades,
- a cada 100 números imprime-se 10 vezes o $1$ nas dezenas,
- a cada 1000 números imprime-se 100 vezes o $1$ nas centenas.

Assim, de $1$ até $999$ imprime-se o número $1$:
$100$ vezes nas unidades $+100$ nas dezenas $+100$ nas centenas $=300$.

De $1000$ até $1999$, imprime-se o número $1$ outras $300$ vezes entre as unidades, dezenas e centenas, e $1000$ vezes na posição dos milhares, portanto entre $1$ e $1999$ o número de vezes que imprime-se o $1$ é: $300+300+1000=1600$.

Agora entre $2000$ e $2999$ imprime-se o $1$ mais $300$ vezes, completando $1600+300=1900$.

De $3000$ a $3099$ temos $20$ algarismos $1$, de $3100$ a $3119$, temos $40$ algarismos $1$ e de $3120$ a $3139$ temos $22$ algarismos, portanto até $3139$ o número de vezes que imprime-se o $1$ é: $1900+20+40+22=1982$ vezes.

Como faltam $6$ algarismos $1$, o número de páginas do livro é $3144$.