Problem 1723

Solution:

Soit $P$ le milieu de $AD$. Par propriété des triangles isocèles, on a que le milieu de la base est égal au pied de la hauteur issue du sommet opposé à la base. L'utilisation de cette propriété dans le triangle par construction isocèle en $CACD$, on a que $\angle CPD = 90^{\circ}$. Par la réciproque du théorème des cercles de Thalès dans le triangle rectangle $CPB$, on a que $C$, $P$ et $B$ sont sur un cercle de centre $M$. On a en particulier $MP = MB$. Par conséquent $PMB$ est isocèle en $M$ et ainsi $\angle BPM = \angle PBM$.

Dans le triangle par construction isocèle en $EBED$, on a que $\angle EDB = \angle EBD$. Comme $\angle EBD = \angle PBM$, on a que $\angle BPM = \angle PBM = \angle EBD = \angle BDE$. Par conséquent $PM$ est parallèle à $ED$. On a donc que les segments $PM$, $ED$, $AI$, $DJ$ sont tous parallèles entre eux.

Les triangles $AMP$ et $AID$ (1), $DMP$ et $DIA$ (2) sont donc par Thalès semblables avec un facteur de proportionnalité de $2$ car $\frac{DA}{DP} = \frac{AD}{AP} = 2$.

Soient $I'$, $M'$ et $J'$ les projections de $I$, $M$, resp. $J$ sur $AB$. Comme $\angle BM'M = \angle BPC = 90^{\circ}$, comme $\angle M'BM = \angle PMC$, on a que $M'MB$ est semblable à $PCB$ avec un facteur de proportionnalité de $2$ car $\frac{CB}{MB} = 2$ (3). Nous utiliserons sans précision dans la suite des calculs que le facteur de proportionnalité entre les longueurs des côtés de deux triangles semblables est le même que le facteur de proportionnalité entre les longueurs des hauteurs correspondantes.

Par (1), (2) et (3), on a que
$$II' = 2MM' = CP = 2MM' = JJ'$$
Par ailleurs, on a
$$\angle II'P = \angle CPI' = \angle CPJ' = \angle PJ'J = 90^{\circ}$$
De là s'ensuit que les quadrilatères $II'PC$ et $CPJ'J$ sont des rectangles. Ainsi
$$\angle ICJ = \angle ICP + \angle PCJ = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$
Ce qui termine la preuve.