Problem 1834

Solution:

Vanwege de lengte-eis in de opgave ligt de configuratie vast: $M$ ligt op de halfrechte $C B$ voorbij $B$, en $N$ ligt op de halfrechte $E D$ voorbij $D$. Zie de figuur. Noem $\alpha=\angle B A C$ en $\beta=\angle A B C$. Noem verder $H$ het hoogtepunt van de driehoek (oftewel het snijpunt van $A D, B E$ en $C F$).

Wegens Thales zijn $A F H E, B D H F, C E H D, A B D E, B C E F$ en $C A F D$ koordenvierhoeken. Vanwege koordenvierhoek $A B D E$ is $\angle C E D=180^\circ-\angle A E D=\angle A B D=\beta$ en vanwege koordenvierhoek $B C E F$ is $\angle A E F=180^\circ-\angle C E F=\angle C B F=\beta$. Analoog zijn $\angle C D E$ en $\angle B D F$ gelijk aan $\alpha$.

Uit $\angle C E D=\beta=\angle A E F$ volgt $\angle D E H=90^\circ-\beta=\angle F E H$. Dus $E H$ is de bissectrice van $\angle D E F$. Vanwege $D E \parallel F M$ geldt wegens U-hoeken verder $\angle M F E=180^\circ-\angle F E D=180^\circ-2\left(90^\circ-\beta\right)=2 \beta$. Aangezien $F N$ de bissectrice van $\angle M F E$ is, is $\angle E F N=\frac{1}{2} \cdot 2 \beta=\beta$. Vanwege $\angle F E H=90^\circ-\beta$ zien we nu ook dat $F N$ en $E H$ loodrecht op elkaar staan, dus $E H$ is niet alleen bissectrice in $\triangle F E N$ maar ook hoogtelijn. Deze lijn is daarmee ook de middelloodlijn van $F N$. Omdat $B$ op deze lijn ligt, geldt $|B F|=|B N|$.

We hebben eerder gezien dat $\angle C D E=\alpha=\angle B D F$. Vanwege $D E \parallel F M$ geldt ook $\angle B M F=\angle C D E=\alpha$, dus $\angle D M F=\angle B M F=\angle B D F=\angle M D F$. Dus $|F M|=|F D|$.

Noem $S$ het snijpunt van $A C$ en $M F$. Dan is $\angle B F M=\angle A F S$ en wegens $D E \parallel F M$ is $\angle C E D=\angle C S F$. Met de buitenhoekstelling in driehoek $A F S$ zien we bovendien $\angle C S F=\angle S A F+\angle A F S=\alpha+\angle A F S$. Als we dit alles combineren, vinden we $\angle C E D=\alpha+\angle B F M$. Anderzijds wisten we dat $\angle C E D=\beta$, dus $\angle B F M=\beta-\alpha$. We weten daarnaast dat $\angle B M F=\alpha$. We concluderen dat $|B F|=|B M|$ dan en slechts dan als $\beta-\alpha=\alpha$ oftewel dan en slechts dan als $\beta=2 \alpha$. Omdat we al weten dat $|B F|=|B N|$ geldt nu: $B$ is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle F M N$ dan en slechts dan als $\beta=2 \alpha$.

We hebben eerder gezien dat $E H$ de bissectrice en hoogtelijn in driehoek $E F N$ is, dus deze driehoek is gelijkbenig met top $E$, waaruit volgt dat $\angle D N F=\angle E N F=\angle E F N=\beta$. Verder weten we dat $\angle C D E=\alpha=\angle B D F$, waaruit volgt dat $\angle N D F=\angle N D B+\angle B D F=\angle C D E+\angle B D F=2 \alpha$. Dus $|F D|=|F N|$ dan en slechts dan als $\beta=2 \alpha$. Omdat we ook al wisten dat $|F M|=|F D|$, geldt nu: $F$ is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle D M N$ dan en slechts dan als $\beta=2 \alpha$.

We concluderen dat $F$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle D M N$ is dan en slechts dan als $B$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle F M N$ is, omdat beide eigenschappen equivalent zijn met $\beta=2 \alpha$.