Problem 909

Solution.

Domain of definition: $\left\{\begin{array}{l}a>0, \text { if } m \text { and } n-\text { are even numbers, } \\ a \neq 0, \\ a \neq 1 .\end{array}\right.$

$$\begin{aligned} & \frac{\left(a^{1 / m}-a^{1 / n}\right)^{2}+4 a^{(m+n) /(m n)}}{\left(a^{2 / m}-a^{2 / n}\right)\left(\sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}}\right)}= \\ &=\frac{a^{2 / m}-2 a^{1 / m} a^{1 / n}+a^{2 / n}+4 a^{(m+n) /(m n)}}{\left(a^{1 / m}-a^{1 / n}\right)\left(a^{1 / m}+a^{1 / n}\right)\left(a^{(m+1) / m}+a^{(n+1) / n}\right)}= \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} & =\frac{a^{2 / m}-2 a^{(1 / m)+(1 / n)}+a^{2 / n}+4 a^{(1 / m)+(1 / n)}}{\left(a^{1 / m}-a^{1 / n}\right)\left(a^{1 / m}+a^{1 / n}\right)\left(a^{1+1 / m}+a^{1+1 / n}\right)}= \\ & =\frac{a^{2 / m}+2 a^{(1 / m)+(1 / n)}+a^{2 / n}}{\left(a^{1 / m}-a^{1 / n}\right)\left(a^{1 / m}+a^{1 / n}\right)\left(a \cdot a^{1 / m}+a \cdot a^{1 / n}\right)}= \\ & =\frac{\left(a^{1 / m}+a^{1 / n}\right)^{2}}{\left(a^{1 / m}-a^{1 / n}\right)\left(a^{1 / m}+a^{1 / n}\right) a\left(a^{1 / m}+a^{1 / n}\right)}=\frac{1}{a\left(a^{1 / m}-a^{1 / n}\right)}=\frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})} \end{aligned}$$

Answer: $\frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})}$