Problem 1538

1. Define the problem and variables:
- Let $n$ be the number of scientists.
- Let $t_{i,j}$ represent the time for which exactly one of the scientists $i$ or $j$ is in the cafeteria.
- Let $T = \sum t_{i,j}$ be the total time for all pairs of scientists.
- We know that $T \geq \frac{n(n-1)}{2} \cdot x$ because for each pair of scientists, the time $t_{i,j} \geq x$.

2. Break down the 8-hour workday into intervals:
- Consider the workday divided into intervals where the set of scientists in the cafeteria remains constant.
- For each interval with $k$ scientists and duration $w$, the interval contributes $w \cdot k \cdot (n-k)$ to the sum $T$.

3. **Maximize the sum $T$:**
- To maximize $T$, we need to maximize $k(n-k)$.
- The function $k(n-k)$ is maximized when $k = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$.

4. **Calculate the maximum $T$:**
- The total time is 8 hours, so the maximum $T$ is $8 \cdot \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \cdot (n - \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor)$.

5. **Express $\min(t_{i,j})$:**
- We want to make all $t_{i,j}$ equal to maximize the minimum.
- Therefore, $\min(t_{i,j}) = \frac{16 \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor (n - \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor)}{n(n-1)}$.

6. **Relate $\min(t_{i,j})$ to $x$:**
- Given $\min(t_{i,j}) \geq x$, we have:
$$\frac{16 \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor (n - \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor)}{n(n-1)} \geq x$$

7. **Solve for $n$ in terms of $x$:**
- Simplify the inequality:
$$16 \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor (n - \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor) \geq x \cdot n(n-1)$$
- Let $k = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$, then:
$$16k(n-k) \geq x \cdot n(n-1)$$
- For $n = 2k$:
$$16k^2 \geq x \cdot 2k(2k-1)$$
$$16k^2 \geq 2xk(2k-1)$$
$$8k \geq x(2k-1)$$
$$8k \geq 2kx - x$$
$$8k + x \geq 2kx$$
$$k \leq \frac{8 + x}{2x - 2}$$
- For $n = 2k + 1$:
$$16k(k+1) \geq x(2k+1)(2k)$$
$$16k^2 + 16k \geq 2x(2k^2 + k)$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
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$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
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$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
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$$16k^2 + 16k \geq 4kx + 2kx$$
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