Problem 979

7. 解 这样的存在. 首先令 $X_{2}=\{0,1\}$. 假设已有 $X_{k}=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}$, 使得 $a_{i}+2 a_{j}$ $(1 \leqslant i, j \leqslant k)$ 互不相同.
令 $S_{k}=\left\{a_{i}+2 a_{j}(1 \leqslant i, j \leqslant k)\right\}$. 对任一不属于 $S_{k}$ 的整数 $n$, 取正整数 $a_{k+1}$,
又令 $a_{k+2}=2 a_{k+1}+n$.
只要 $a_{k+1}$ 充分大, 对 $1 \leqslant i, j, s, t \leqslant k$, 有
$$3 a_{k+1}>a_{s}+2 a_{k+1}>a_{k+1}+2 a_{i}>n a_{k+2}+2 a_{j}>a_{k+1}+2 a_{k+2}>a_{t}+2 a_{k+2}>3 a_{k+2} \text {, }$$

而且 $a_{k+1}+2 a_{i}$ 大于 $S_{k}$ 中一切正数, $a_{k+2}+2 a_{j}$ 小于 $S_{k}$ 中一切负数.
于是, 对 $X_{k+2}=\left\{a_{k+1}, a_{k+2}\right\} \cup X_{k}$ 中任二数 $a 、 b,(a+2 b)$ 互不相同.
令 $X=X_{2} \cup X_{4} \cup \cdots \cup X_{2 k} \cup X_{2 k+2} \cup \cdots$
则 $X$ 满足要求.