Hint 1. Assume that the dominoes are being cut out one by one. At each moment, define the price of a remaining cell as the number of its neighbors which are still not cut out, decreased by 2. Initially, the total price of all cells is 19600, and at each step it decreases by at most 10. Thus, at the end there still exists a cell with positive price; this cell is a central cell of a required $T$-tetramino.

Hint 2. Divide the initial square into regions as shown on Fig. 13. In this partition, either some $T$-tetramino remains, or some cross loses at most one cell (which cannot be the central cell of the cross).

Первое решение.

Представим себе, что доминошки (прямоугольники $1 \times 2$) ещё не вырезаны, и будем вырезать их по одной. В каждый момент процесса назовём ценой ещё не вырезанной клетки число её невырезанных соседей по стороне, уменьшенное на 2 (например, цена неугловой клетки, лежащей на границе квадрата, изначально равна 1). Тогда исходная цена каждой клетки есть $2 - t$, где $t$ — количество отрезков периметра квадрата, находящихся на границе этой клетки. Значит, исходная суммарная цена всех клеток равна $2 \cdot 100^2 - 400 = 19600$.

Проследим, как изменяется суммарная цена $S$ всех невырезанных клеток после вырезания доминошки. При этом выкидываются две клетки (сумма цен которых не превосходит $2+2=4$), а также уменьшаются на 1 цены клеток, граничащих с доминошкой (которых не больше шести). Поэтому после вырезания доминошки $S$ уменьшается не более, чем на 10.

Итак, после вырезания 1950 доминошек $S$ станет не меньше, чем $19600 - 1950 \cdot 10 = 100$. Значит, найдётся невырезанная клетка $k$, цена которой положительна. Это значит, что у $k$ не менее трёх невырезанных соседей. Тогда $k$ вместе с этими тремя соседями образует требуемую фигурку.

Второе решение.

Назовём требуемую фигурку $T$-тетрамино.

Мысленно разобьём наш квадрат на фигурки (см. рис. 13). Нетрудно подсчитать, что вне «полных» крестов окажется ровно $4 \cdot 100 = 400$ клеток, из которых 320 будут находиться в $T$-тетрамино разбиения. Итого, в разбиении есть $(100^2 - 400)/5 = 1920$ полных крестов и ещё 80 $T$-тетрамино.

Рассмотрим теперь, куда попадают клетки вырезанных доминошек. Предположим, что из каждого полного креста было вырезано хотя бы по две клетки, а из каждого $T$-тетрамино разбиения — хотя бы одна. Тогда общее число вырезанных клеток было бы не меньше, чем $1920 \cdot 2 + 80 = 2 \cdot 1960$, что неверно.

Значит, либо из некоторого $T$-тетрамино не вырезано ни одной клетки, либо из некоторого креста вырезано не более одной клетки. В первом случае мы уже нашли $T$-тетрамино, которое можно вырезать. Во втором же случае, если из креста и вырезана одна клетка, то она не может быть центральной (иначе вторая клетка той же доминошки также лежала бы в кресте). Значит, даже если клетка креста вырезана, остаток его как раз и является $T$-тетрамино. В обоих случаях мы добились требуемого.

Рис. 13