Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /3 of 25

Geometry Difficulty 5.3 AIME, harder Prove it Russia

A circle centered at $I$ is inscribed into a quadrilateral $ABCD$ . $BA$ and $CD$ meet at $P$ , and rays $AD$ and $BC$ meet at $Q$ . Given that $P$ lies on the circle $(AIC)$ , prove that $Q$ also lies on this circle.

Solution

Prove that $\angle DAI = \angle BAI = \angle DCI = \angle BCI$ (see Fig. 6).

Так как четырёхгольник $AICP$ вписанный, то $\angle PCI = 180^\circ - \angle PAI = \angle BAI$ ; иначе говоря, $\angle DCI = \angle BAI$ (см. рис. 6). Центр $I$ вписанной окружности четырёхгольника лежит на биссектрисах его углов, поэтому $\angle DCI = \angle BCI$ и $\angle DAI = \angle BAI$ . Отсюда следует, что $\angle DAI = \angle BCI$ , а значит, $\angle QAI = \angle BCI = 180^\circ - \angle QCI$ .

Рис. 6
Из полученного равенства вытекает, что четырёхгольник $AICQ$ вписанный. Тем самым, точка $Q$ лежит на окружности $w$ (проходящей через точки $A$ , $I$ и $C$ ).

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.